ECUACIONES Y DESIGUALDADES馃槂馃榿馃槀
Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos馃槍馃様馃槚馃槜
Como los valores positivos y negativos tienen un valor absoluto positivo, resolver ecuaciones con valores absolutos significa encontrar la soluci贸n para ambos valores positivo y negativo.
Primero veamos un ejemplo b谩sico.
La ecuaci贸n dice “el valor absoluto de x es igual a cinco.” La soluci贸n es el valor o valores que est谩s a cinco unidades a partir de 0 en la recta num茅rica.
Podr铆as pensar inmediatamente en el 5; que es una soluci贸n de la ecuaci贸n. Observa que −5 tambi茅n es una soluci贸n porque −5 est谩 a 5 unidades del 0 en la direcci贸n opuesta. Entonces la soluci贸n a la ecuaci贸n es x = −5 o x = 5.
es x = −5 o x = 5.
Un problema m谩s complejo de valor absoluto se resuelve de manera similar. Considera 
. Esta ecuaci贸n te pide encontrar qu茅 n煤mero mas 5 tiene un valor absoluto de 15. Como 15 y −15 tienen valor absoluto de 15, la ecuaci贸n de valor absoluto es v谩lida cuando la cantidad x + 5 es 15 o x + 5 es −15, ya que |15| = 15 y |−15| = 15. Entonces, necesitas encontrar qu茅 valor de x har谩 la expresi贸n igual a 15 as铆 como qu茅 valor de x har谩 la expresi贸n igual a −15. Resolviendo las dos ecuaciones obtienes:
. Esta ecuaci贸n te pide encontrar qu茅 n煤mero mas 5 tiene un valor absoluto de 15. Como 15 y −15 tienen valor absoluto de 15, la ecuaci贸n de valor absoluto es v谩lida cuando la cantidad x + 5 es 15 o x + 5 es −15, ya que |15| = 15 y |−15| = 15. Entonces, necesitas encontrar qu茅 valor de x har谩 la expresi贸n igual a 15 as铆 como qu茅 valor de x har谩 la expresi贸n igual a −15. Resolviendo las dos ecuaciones obtienes:
Puedes comprobar ambas soluciones en la ecuaci贸n de valor absoluto para ver si x = 10 y x = −20 son correctos.
Resolver Ecuaciones de la Forma |x| = a
Para cualquier n煤mero positivo a, la soluci贸n de |x| = a es
x = a o x = −a
x puede ser una variable o una expresi贸n algebraica.
|
Veamos otro ejemplo.
Ejemplo
| ||||
Problema
|
Resolver p.
|2p – 4| = 26
| |||
 |
Escribe las dos ecuaciones que te dar谩n un valor absoluto de 26.
| |||
 |
Resuelve cada ecuaci贸n para p despejando la variable.
| |||
Comprobar |  |
Comprueba las soluciones en la ecuaci贸n original.
¡Ambas soluciones funcionan!
| ||
Respuesta
|  | |||
Algunas veces, tienes que despejar el valor absoluto antes de resolver la ecuaci贸n. Un ejemplo se muestra abajo.
Ejemplo
| |||||
Problema
|
Resolver w.
3|4w – 1| – 5 = 10
| ||||
 |
Despeja el t茅rmino con el valor absoluto sumando 5 a ambos lados.
Divide ambos lados entre 3.
Ahora el valor absoluto est谩 despejado.
| ||||
 |
Escribe las dos ecuaciones que te dar谩n un valor absoluto de 5 y resu茅lvelas.
| ||||
Comprobar
|  |
Comprueba las soluciones en la ecuaci贸n original.
¡Ambas soluciones funcionan!
| |||
Respuesta
|  | ||||
Veamos otro ejemplo:
Resolver y.
Antes de eliminar el signo de valor absoluto y hacer dos ecuaciones, piensa en lo que significa la ecuaci贸n. Dice “el valor absoluto de la cantidad 3y menos 5 es igual a −1.” Recuerda que un valor absoluto es la distancia de 0 en la recta num茅rica, entonces debe ser un n煤mero positivo, Como es imposible tener un valor absoluto igual a −1, esta ecuaci贸n no tiene soluci贸n. No existen valores de y que hagan un enunciado v谩lido. No hay nada que hacer adem谩s de saber que la ecuaci贸n no tiene soluciones.
Apliquemos lo que ya sabes sobre resolver ecuaciones que contienen valores absolutos y lo que sabes sobre desigualdades para resolver desigualdades que contienen valores absolutos. Empecemos con una desigualdad simple.
La desigualdad dice, “el valor absoluto de x es menor o igual a 4.” Si se te pide resolver x, quieres encontrar los valores de x que est谩n a 4 unidades o menos de 0 en la recta num茅rica. Podr铆as empezar imaginando la recta num茅rica y los valores de x que satisfacen esta ecuaci贸n.
4 y −4 est谩n a cuatro unidades del 0, entonces son soluciones. 3 y −3 tambi茅n son soluciones porque cada uno de estos valores est谩 a menos de cuatro unidades del 0. Al igual que el 1 y el −1, el 0.5 y el −0.5, etc. — hay un n煤mero infinito de valores de x que satisfacen la desigualdad.
La gr谩fica de esta desigualdad tendr谩 dos c铆rculos cerrados, en 4 y en −4. La distancia entre estos dos c铆rculos en la recta num茅rica est谩 coloreada de azul porque estos son los valores que satisfacen la ecuaci贸n.
La soluci贸n se puede escribir de esta manera: −4 
x 4.
x 4.
La situaci贸n es un poco distinta cuando el signo de desigualdad es “mayor que” o “mayor o igual a.” Considera la desigualdad simple 
Tambi茅n, podr铆as pensar en la recta num茅rica y los valores de x mayores de tres unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y −3 no est谩n incluidos en la soluci贸n, entonces hay dos c铆rculos abiertos en estos valores. 2 y −2 no ser铆an soluciones porque no est谩n a m谩s de tres unidades del 0. Pero 5 y −5 si est谩n y tambi茅n lo est谩n todos los valores extendi茅ndose a la izquierda de −3 y a la derecha de 3. La gr谩fica se ver铆a como la que est谩 abajo.
Tambi茅n, podr铆as pensar en la recta num茅rica y los valores de x mayores de tres unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y −3 no est谩n incluidos en la soluci贸n, entonces hay dos c铆rculos abiertos en estos valores. 2 y −2 no ser铆an soluciones porque no est谩n a m谩s de tres unidades del 0. Pero 5 y −5 si est谩n y tambi茅n lo est谩n todos los valores extendi茅ndose a la izquierda de −3 y a la derecha de 3. La gr谩fica se ver铆a como la que est谩 abajo.
La soluci贸n de esta desigualdad puede escribirse: x < −3 o x > 3.
Resolver Desigualdades con Valor Absoluto
Para cualquier valor positivo de a:
 es equivalente a  (esta regla tambi茅n aplica a  ) es equivalente a x −a o x a (esta regla tambi茅n aplica a  )
x puede ser una variable o una expresi贸n algebraica.
|
Resolver la desigualdad:
A) p ≤ −5 o p ≥ 5
B) −5 ≤ p ≤ 5
C) p ≤ −5
D) No hay soluci贸n
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Veamos algunos ejemplos de desigualdades que contienen valores absolutos.
Ejemplo
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Problema
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Resolver x.
 | |||
 |
Como esta es una desigualdad “mayor que”, la soluci贸n puede reescribirse de acuerdo con la regla de “mayor que”. Resuelve cada desigualdad.
| |||
Comprobar
|   |
Comprueba las soluciones en la ecuaci贸n original para asegurarte que son correctas. Comprueba el punto final de la primera ecuaci贸n relacionada, −7.
Intenta con −10, un valor menor que −7, para comprobar la desigualdad.
Comprueba el punto final de la segunda ecuaci贸n relacionada, 1.
Intenta con 5, un valor mayor que 1.
¡Ambas soluciones funcionan!
| ||
Respuesta
|  | |||
Ejemplo
| |||
Problema
|
Resolver y.
 | ||
  |
Empieza por despejar el valor absoluto sumando 9 a ambos lados de la desigualdad.
Divide entre 3 ambos lados para despejar el valor absoluto.
Escribe la desigualdad de valor absoluto usando la regla “menor que”.
Resta 6 de cada parte de la desigualdad.
Divide entre 2 para despejar la variable.
| ||
Respuesta
|  | ||
De la misma forma que con las ecuaciones, puede haber ocasiones en las que no hay una soluci贸n para una desigualdad.
Ejemplo
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Problema
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Resolver x.
|2x + 3| + 9 ≤ 7
| |||
 |
Despeja el valor absoluto restando 9 de ambos lados de la desigualdad.
El valor absoluto de una cantidad nunca es un n煤mero negativo, por lo que la desigualdad no tiene soluci贸n.
| |||
Respuesta
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No hay soluci贸n
| |||
Sumario 馃様馃槤馃槧馃構馃槕
Para resolver una ecuaci贸n que contiene un valor absoluto, debe despejar la expresi贸n que contiene el valor absoluto. Una vez hecho esto, puedes reescribir la ecuaci贸n de valor absoluto como dos ecuaciones, donde uno de los enunciados es igual al valor dentro del valor absoluto a la cantidad positiva en el otro lado de la ecuaci贸n y el otro es igual al valor absoluto del valor negativo (u opuesto).
Las desigualdades tambi茅n pueden contener valores absolutos. Las desigualdades absolutas tambi茅n pueden resolverse reescribi茅ndolas usando desigualdades compuestas.Resolver Ecuaciones con Valores Absolutos
Como los valores positivos y negativos tienen un valor absoluto positivo, resolver ecuaciones con valores absolutos significa encontrar la soluci贸n para ambos valores positivo y negativo.
Primero veamos un ejemplo b谩sico.
La ecuaci贸n dice “el valor absoluto de x es igual a cinco.” La soluci贸n es el valor o valores que est谩s a cinco unidades a partir de 0 en la recta num茅rica.
Podr铆as pensar inmediatamente en el 5; que es una soluci贸n de la ecuaci贸n. Observa que −5 tambi茅n es una soluci贸n porque −5 est谩 a 5 unidades del 0 en la direcci贸n opuesta. Entonces la soluci贸n a la ecuaci贸n es x = −5 o x = 5.
es x = −5 o x = 5.
Un problema m谩s complejo de valor absoluto se resuelve de manera similar. Considera . Esta ecuaci贸n te pide encontrar qu茅 n煤mero mas 5 tiene un valor absoluto de 15. Como 15 y −15 tienen valor absoluto de 15, la ecuaci贸n de valor absoluto es v谩lida cuando la cantidad x + 5 es 15 o x + 5 es −15, ya que |15| = 15 y |−15| = 15. Entonces, necesitas encontrar qu茅 valor de x har谩 la expresi贸n igual a 15 as铆 como qu茅 valor de x har谩 la expresi贸n igual a −15. Resolviendo las dos ecuaciones obtienes:
. Esta ecuaci贸n te pide encontrar qu茅 n煤mero mas 5 tiene un valor absoluto de 15. Como 15 y −15 tienen valor absoluto de 15, la ecuaci贸n de valor absoluto es v谩lida cuando la cantidad x + 5 es 15 o x + 5 es −15, ya que |15| = 15 y |−15| = 15. Entonces, necesitas encontrar qu茅 valor de x har谩 la expresi贸n igual a 15 as铆 como qu茅 valor de x har谩 la expresi贸n igual a −15. Resolviendo las dos ecuaciones obtienes:
Puedes comprobar ambas soluciones en la ecuaci贸n de valor absoluto para ver si x = 10 y x = −20 son correctos.
Resolver Ecuaciones de la Forma |x| = a
Para cualquier n煤mero positivo a, la soluci贸n de |x| = a es
x = a o x = −a
x puede ser una variable o una expresi贸n algebraica.
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Veamos otro ejemplo.
Ejemplo
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Problema
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Resolver p.
|2p – 4| = 26
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Escribe las dos ecuaciones que te dar谩n un valor absoluto de 26.
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Resuelve cada ecuaci贸n para p despejando la variable.
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Comprobar | |
Comprueba las soluciones en la ecuaci贸n original.
¡Ambas soluciones funcionan!
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Respuesta
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Algunas veces, tienes que despejar el valor absoluto antes de resolver la ecuaci贸n. Un ejemplo se muestra abajo.
Ejemplo
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Problema
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Resolver w.
3|4w – 1| – 5 = 10
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Despeja el t茅rmino con el valor absoluto sumando 5 a ambos lados.
Divide ambos lados entre 3.
Ahora el valor absoluto est谩 despejado.
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Escribe las dos ecuaciones que te dar谩n un valor absoluto de 5 y resu茅lvelas.
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Comprobar
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Comprueba las soluciones en la ecuaci贸n original.
¡Ambas soluciones funcionan!
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Respuesta
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Veamos otro ejemplo:
Resolver y.
Antes de eliminar el signo de valor absoluto y hacer dos ecuaciones, piensa en lo que significa la ecuaci贸n. Dice “el valor absoluto de la cantidad 3y menos 5 es igual a −1.” Recuerda que un valor absoluto es la distancia de 0 en la recta num茅rica, entonces debe ser un n煤mero positivo, Como es imposible tener un valor absoluto igual a −1, esta ecuaci贸n no tiene soluci贸n. No existen valores de y que hagan un enunciado v谩lido. No hay nada que hacer adem谩s de saber que la ecuaci贸n no tiene soluciones.
Apliquemos lo que ya sabes sobre resolver ecuaciones que contienen valores absolutos y lo que sabes sobre desigualdades para resolver desigualdades que contienen valores absolutos. Empecemos con una desigualdad simple.
La desigualdad dice, “el valor absoluto de x es menor o igual a 4.” Si se te pide resolver x, quieres encontrar los valores de x que est谩n a 4 unidades o menos de 0 en la recta num茅rica. Podr铆as empezar imaginando la recta num茅rica y los valores de x que satisfacen esta ecuaci贸n.
4 y −4 est谩n a cuatro unidades del 0, entonces son soluciones. 3 y −3 tambi茅n son soluciones porque cada uno de estos valores est谩 a menos de cuatro unidades del 0. Al igual que el 1 y el −1, el 0.5 y el −0.5, etc. — hay un n煤mero infinito de valores de x que satisfacen la desigualdad.
La gr谩fica de esta desigualdad tendr谩 dos c铆rculos cerrados, en 4 y en −4. La distancia entre estos dos c铆rculos en la recta num茅rica est谩 coloreada de azul porque estos son los valores que satisfacen la ecuaci贸n.
La soluci贸n se puede escribir de esta manera: −4 x 4.
x 4.
La situaci贸n es un poco distinta cuando el signo de desigualdad es “mayor que” o “mayor o igual a.” Considera la desigualdad simple Tambi茅n, podr铆as pensar en la recta num茅rica y los valores de x mayores de tres unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y −3 no est谩n incluidos en la soluci贸n, entonces hay dos c铆rculos abiertos en estos valores. 2 y −2 no ser铆an soluciones porque no est谩n a m谩s de tres unidades del 0. Pero 5 y −5 si est谩n y tambi茅n lo est谩n todos los valores extendi茅ndose a la izquierda de −3 y a la derecha de 3. La gr谩fica se ver铆a como la que est谩 abajo.
Tambi茅n, podr铆as pensar en la recta num茅rica y los valores de x mayores de tres unidades a partir del 0. Esta vez, 3 y −3 no est谩n incluidos en la soluci贸n, entonces hay dos c铆rculos abiertos en estos valores. 2 y −2 no ser铆an soluciones porque no est谩n a m谩s de tres unidades del 0. Pero 5 y −5 si est谩n y tambi茅n lo est谩n todos los valores extendi茅ndose a la izquierda de −3 y a la derecha de 3. La gr谩fica se ver铆a como la que est谩 abajo.
La soluci贸n de esta desigualdad puede escribirse: x < −3 o x > 3.
Resolver Desigualdades con Valor Absoluto
Para cualquier valor positivo de a:
es equivalente a (esta regla tambi茅n aplica a ) es equivalente a x −a o xa (esta regla tambi茅n aplica a )
x puede ser una variable o una expresi贸n algebraica.
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Resolver la desigualdad:
A) p ≤ −5 o p ≥ 5
B) −5 ≤ p ≤ 5
C) p ≤ −5
D) No hay soluci贸n
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Veamos algunos ejemplos de desigualdades que contienen valores absolutos.
Ejemplo
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Problema
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Resolver x.
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Como esta es una desigualdad “mayor que”, la soluci贸n puede reescribirse de acuerdo con la regla de “mayor que”. Resuelve cada desigualdad.
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Comprobar
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Comprueba las soluciones en la ecuaci贸n original para asegurarte que son correctas. Comprueba el punto final de la primera ecuaci贸n relacionada, −7.
Intenta con −10, un valor menor que −7, para comprobar la desigualdad.
Comprueba el punto final de la segunda ecuaci贸n relacionada, 1.
Intenta con 5, un valor mayor que 1.
¡Ambas soluciones funcionan!
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Respuesta
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Ejemplo
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Problema
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Resolver y.
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Empieza por despejar el valor absoluto sumando 9 a ambos lados de la desigualdad.
Divide entre 3 ambos lados para despejar el valor absoluto.
Escribe la desigualdad de valor absoluto usando la regla “menor que”.
Resta 6 de cada parte de la desigualdad.
Divide entre 2 para despejar la variable.
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Respuesta
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De la misma forma que con las ecuaciones, puede haber ocasiones en las que no hay una soluci贸n para una desigualdad.
Ejemplo
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Problema
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Resolver x.
|2x + 3| + 9 ≤ 7
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Despeja el valor absoluto restando 9 de ambos lados de la desigualdad.
El valor absoluto de una cantidad nunca es un n煤mero negativo, por lo que la desigualdad no tiene soluci贸n.
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No hay soluci贸n
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Sumario 馃榾馃槨
Para resolver una ecuaci贸n que contiene un valor absoluto, debe despejar la expresi贸n que contiene el valor absoluto. Una vez hecho esto, puedes reescribir la ecuaci贸n de valor absoluto como dos ecuaciones, donde uno de los enunciados es igual al valor dentro del valor absoluto a la cantidad positiva en el otro lado de la ecuaci贸n y el otro es igual al valor absoluto del valor negativo (u opuesto).
Las desigualdades tambi茅n pueden contener valores absolutos. Las desigualdades absolutas tambi茅n pueden resolverse reescribi茅ndolas usando desigualdades compuestas.
Desigualdades Lineales como Regiones 馃槂馃槜馃槚
Las desigualdades lineales son diferentes a las ecuaciones lineales, si bien puedes aplicar lo que sabes sobre ecuaciones para ayudarte a entender las desigualdades. Las desigualdades y las ecuaciones son enunciados matem谩ticos que comparan dos valores. Las ecuaciones usan el s铆mbolo =; las desigualdades se representan con los s铆mbolos <, ≤, >, y ≥.
Una manera de visualizar desigualdades de dos variables es graficarlas en el plano de coordenadas. As铆 es como se ve la desigualdad x > y. La soluci贸n es la regi贸n sombreada.
Hay algunas cosas que debemos notar. Primero, observa la recta l铆mite roja y punteada: esta es la gr谩fica de la ecuaci贸n lineal relacionada x = y. Segundo, observa la regi贸n roja a la derecha de la recta. Esta regi贸n (excluyendo la recta x = y) representa el conjunto de soluciones de la desigualdad x > y. ¿Recuerdas que todos los puntos en la recta son soluciones de la ecuaci贸n lineal de una recta? Bueno, todos los puntos en una regi贸n son soluciones de la desigualdad lineal que representa esa regi贸n.
Pensemos en esto un momento — si x > y, entonces una gr谩fica de x > y mostrar谩 todos los pares ordenados (x, y) donde la coordenada-x es mayor que la coordenada-y.
La gr谩fica de abajo muestra la regi贸n x > y as铆 como algunos pares ordenados en el plano de coordenadas. Observa cada par ordenado. ¿Es la coordenada-x mayor que la coordenada-y? ¿Est谩 el par ordenado dentro o fuera de la regi贸n sombreada?
Los pares ordenados (4, 0) y (0, −3) est谩n dentro de la regi贸n sombreada. En estos pares ordenados, la coordenada-x es m谩s grande que la coordenada-y. Estos pares ordenados est谩n en el conjunto soluci贸n de la ecuaci贸n x > y.
Los pares ordenados (−3, 3) y (2, 3) est谩n fuera de la regi贸n sombreada. En estos pares ordenados, la coordenada-x es m谩s peque帽a que la coordenada-y, por lo que no est谩n incluidos en el conjunto soluci贸n de la desigualdad.
El par ordenado (−2, −2) est谩 en la recta l铆mite. No es una soluci贸n porque −2 no es mayor que −2. Sin embargo, si la desigualdad hubiera sido x ≥ y (se lee como “x es mayor o igual que y"), entonces (−2, −2) habr铆a sido incluido (y la recta habr铆a sido representada por una l铆nea s贸lida, no una l铆nea punteada).
Veamos otro ejemplo: la desigualdad 3x + 2y ≤ 6. LA gr谩fica siguiente muestra la regi贸n de valores que vuelve la desigualdad v谩lida (rojo sombreado), la recta l铆mite 3x + 2y = 6, as铆 como un grupo de pares ordenados. Esta vez, a recta l铆mite es s贸lida, porque puntos en la recta l铆mite 3x + 2y = 6 tambi茅n son v谩lidos en la ecuaci贸n 3x + 2y ≤ 6.
Como hiciste en el ejemplo anterior, puedes sustituir los valores de x y, y en cada uno de los pares ordenados (x, y), en la desigualdad para encontrar soluciones. Si bien pudiste hacerlo en la mente para la desigualdad x > y, a veces construir una tabla de valores tiene sentido para desigualdades m谩s complicadas.
Par Ordenado
|
Hace a la desigualdad
3 x + 2y ≤ 6
un enunciado v谩lido
|
Hace la desigualdad
3 x + 2y ≤ 6
un enunciado inv谩lido
|
(−5, 5)
|
3(−5) + 2(5) ≤ 6
−15 +10 ≤ 6
−5 ≤ 6
| |
(−2, −2)
|
3(−2) + 2(–2) ≤ 6
−6 + (−4) ≤ 6
–10 ≤ 6
| |
(2, 3)
|
3(2) + 2(3) ≤ 6
6 + 6 ≤ 6
12 ≤ 6
| |
(2, 0)
|
3(2) + 2(0) ≤ 6
6 + 0 ≤ 6
6 ≤ 6
| |
(4, −1)
|
3(4) + 2(−1) ≤ 6
12 + (−2) ≤ 6
10 ≤ 6
|
Si sustituimos (x, y) en la desigualdad y obtenemos un enunciado v谩lido, entonces el par ordenado es una soluci贸n de la desigualdad, y el punto estar谩 graficado dentro de la regi贸n sombreada o ser谩 parte de la recta l铆mite s贸lida. Un enunciado falso significa que el par ordenado no es una soluci贸n, y el punto estar谩 fuera de la regi贸n sombreada, o ser谩 parte de una recta l铆mite punteada.
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