Proporcionalidad

PROPORCIONALIDAD  😌😋

Razon  😊😒

En las matemáticas la razón es una relacion binaria entre magnitudes (es decir, objetos, personas, estudiantes, cucharadas,  del si, etc.), generalmente se expresa como "a es a b" o a:b. En el caso de números toda razón se puede expresar como una fraccion y eventualmente como un decimal.

Razón geométrica   😋😐

La razón geométrica es la comparación de dos cantidades por su cociente, donde se ve cuántas veces contiene una a la otra. Sólo si las magnitudes a comparar tienen la misma Unidad de medida  la razón es adimensional.

Una razón «X:Y» se puede leer como «X sobre Y», o bien «X es a Y».

El numerador de la razón (es decir, el X) se llama antecedente y al denominador (el Y) se le conoce como consecuente.

Ejemplo  😕

18:6 representa la razón de 18 entre 6, que es igual a 3 (18 tiene tres veces 6). Su razón geométrica es 3, su antecedente 18, y su consecuente 6.

Ejemplos de progresiones geométricas  😋😌

• La progresión 1, 2, 4, 8, 16, es una progresión geométrica cuya razón vale 2, al igual que 5, 10, 20, 40.
• La razón no necesariamente tiene que ser un número entero. Así, 12, 3, 0.75, 0.1875 es una progresión geométrica con razón 1/4.
• La razón tampoco tiene por qué ser positiva. De este modo la progresión 3, -6, 12, -24 tiene razón -2. Este tipo de progresiones es un ejemplo de progresión alternante porque los signos alternan entre positivo y negativo.
• Cuando la razón es igual a 1 se obtiene una progresión constante: 7, 7, 7, 7.
• Un caso especial es cuando la razón es igual a cero, por ejemplo: 4, 0, 0, 0. Existen ciertas referencias que no consideran este caso como progresión y piden explícitamente que ${\displaystyle r\neq 0}$ en la definición.

Razón aritmética   😁😚😉

La razón aritmética de dos cantidades es la diferencia (o resta) de dichas cantidades. La razón aritmética se puede escribir colocando entre las dos cantidades el signo . o bien con el signo -. Así, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe: 6.4 o 6-4.

${\displaystyle {\rm {\color {red}{antecedente\rightarrow 6}\color {black}{-}\color {blue}{4\leftarrow consecuente}}}}$

El primer término de una razón aritmética recibe el nombre de antecedente y el segundo el de consecuente. Así en la razón 6-4, el antecedente es 6 y el consecuente 4.

Propiedades de las razones aritméticas  😒😊😋

Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma o resta.

Primera propiedad 😊😊😊

Si al antecedente se le suma o resta una cantidad la razón aritmética queda aumentada o disminuida dicha cantidad.

• Primer caso (con la suma)  😁😓

Sea la razón aritmética 7 a 5 es igual a 2:

${\displaystyle 7-5=2\,{\mbox{ }}\,7.5=2}$

Si le sumamos al antecedente el número 4 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (7+4)-5= 6. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (7-5=2), después de sumarle 4 al antecedente ((7+4)-5= 6) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad.

• Segundo caso (con la resta)   😝😔

Sea la razón aritmética 18 a 3 es igual a 15:

${\displaystyle 18-3=15\,{\mbox{ o }}\,18.3=15}$

Si le restamos al antecedente el número 2 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos (18-2)-3= 13. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (18-3=15), después de restarle 2 al antecedente ((18-2)-3= 13) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad.

Segunda propiedad  😕😒😉

Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta una cantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la cantidad de veces que indica dicho número.

• Primer caso (sumando una cantidad cualquiera al consecuente)  😓😗

Sea la razón aritmética 45 a 13 es igual a 32:

Si le sumamos al consecuente el número 7 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 45-(13+7)=25. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (45-13=32), después de sumarle 7 al consecuente 45-(13+7)=25) la respuesta queda disminuida en dicha cantidad es decir de 32 paso a ser 25.

• Segundo caso (restando una cantidad cualquiera al consecuente)  😋😔

Sea la razón aritmética 36 a 12 es igual a 24:

Si le restamos al consecuente el número 3 (aclaramos que puede ser cualquier número) entonces tendríamos 36-(12-3)= 27. Como se observa la respuesta de la razón aritmética original (36-12=24), después de restarle 3 al consecuente (36-(12-3)= 27) la respuesta queda aumentada en dicha cantidad es decir de 24 paso a ser 27.

Proporciones aritméticas  😔😓😊

Una "proporción aritmética" es una expresión de la relación de igualdad entre 2 razones. Las proporciones aritméticas se pueden representar de dos maneras distintas:

a/b = c/d o bien a:b = c:d

y se lee "a es a b como c es a d".

Los términos primero y cuarto de una proporción aritmética reciben el nombre de extremos, mientras que los términos segundo y tercero se denominan medios. Así sea la proporción aritmética 10:5 = 8:4. Los términos 10 y 4 (son extremos) y, 5 y 8 (son medios).

Las proporciones aritméticas cuyos medios no son iguales reciben el nombre de proporciones aritméticas discretas.

Razón simple😖😊😊

 La razón simple​ de tres números a, b y c, expresada (abcsedefine como el cociente de las diferencias entre el primero y cada uno de los otros dos.

${\displaystyle (abc)={\frac {a-b}{a-c}}}$

Razón doble  😋😊😔😋

La razón doble​ de cuatro números a, b, c y d, expresada (abcd), se define como el cociente entre la razón simple de a, c y d y la razón simple de b, c y d.

${\displaystyle (abcd)={\frac {(acd)}{(bcd)}}}$

Proporcion   😋😒😕

La proporcionalidad es una relación o razón constante entre diferentes magnitudes que se pueden medir. Si uno aumenta o disminuye el otro también aumenta o disminuye proporcionalmente.

VARIACION DIRECTA Y INDIRECTA, PRIMOS Y COMPUESTOS

Variación directa e inversa  😝😔

La variacion directa  describe una relación simple entre dos variables . Decimos que y varía directamente con x (o con respecto de x , en algunos libros) si:

y = kx

para alguna constantes k .

Esto significa que así como x aumenta, y aumenta y así como x disminuye, y disminuye.

La gráfica de la ecuación de variación directa es una línea recta a través del origen.

Ecuación de variación directa
para 3 valores diferentes de k 

La variaccion inversa describe otro tipo de relación. Decimos que y varía inversamente con x (o con respecto de x , en algunos libros) si :

xy = k ,

o, equivalentemente,

para alguna constante k .

Esto significa que así como x aumenta, y disminuye y así como x disminuye, y aumenta.

La gráfica de la ecuación de variación inversa es una hiperbola.

Ecuación de variación inversa
para 3 valores diferentes de k 

Números primos y compuestos  😕😊

Definición: Un número primo es un numero entero con exactamente dos divisores integrales, 1 y el número mismo.

El número 1 no es un primo, ya que solo tiene un divisor.

Así los números primos más pequeños son:

2, 3, 5, 7, ...

El número 4 no es primo, ya que tiene tres divisores (1, 2, y 4), y el 6 no es primo, ya que tiene cuatro divisores (1, 2, 3, y 6).

Definición: Un número compuesto es un número entero con más de dos divisores integrales.

Así todos los números enteros (excepto 0 y 1) son o primos o compuestos.

Ejemplo:

43 es primo, ya que sus únicos divisores son 1 y 43.

44 es compuesto, ya que tiene al 1, 2, 4, 11, 22, y 44 como divisores.

Como puede saber si un número es primo?

Primero que nada, aquí hay algunas formas para saber si un número NO es primo:

Cualquier número mayor que 2 que es un múltiplo de 2 no es un primo, ya que por lo menos tiene tres divisores: 1, 2, y el número mismo. (Esto significa que 2 es el único primo par.)

Cualquier número mayor que 3 que es un múltiplo de 3 no es un primo, ya que tiene al 1, 3, y al número mismo como divisores. (Por ejemplo, 303 no es primo, ya que 303 ÷ 3 = 101.)

Cualquier número que es un múltiplo de 4 es también un múltiplo de 2, así que podemos eliminar estos.

Cualquier número mayor que 5 que es un múltiplo de 5 no es un primo. (Así el único número primo que termina con un 0 o 5 es el 5.)

Cualquier número que es un múltiplo de 6 es también un múltiplo de 2 y 3, así que podemos eliminar estos también.

Puede continuar de esta forma... básicamente, solo tiene que probar la divisibilidad entre primos!

Ejemplo 1:

Es 119 primo?

Primero pruebe la divisibilidad entre 2. 119 es impar, así no es divisible entre 2.

Enseguida, pruebe la divisibilidad entre 3. Sume los dígitos: 1 + 1 + 9 = 11. Ya que 11 no es un múltiplo de 3, tampoco lo es 119. (Recuerde, este truco solo funciona para la prueba de divisibilidad entre 3 y 9.)

Ya que 119 no termina en un 0 o un 5, no es divisible entre 5.

Enseguida, pruebe la divisibilidad entre 7. Encontrará que 119 ÷ 7 = 17.

Así la respuesta es NO... 119 no es primo.

Ejemplo 2:

Es 127 primo?

Primero pruebe la divisibilidad entre 2. 127 es impar, así no es divisible entre 2.

Enseguida, pruebe la divisibilidad entre 3 . Sume los dígitos: 1 + 2 + 7 = 10. Ya que 10 no es un múltiplo de 3, tampoco lo es 127.

Ya que 127 no termina en un 0 o un 5, no es divisible entre 5.

Enseguida, pruebe la divisibilidad entre 7. Encontrará que 7 no entra uniformemente.

El siguiente primo es 11. Pero 11 no entra uniformemente, también.

Puede parar ahora... debe ser un primo! No necesita continuar comprobando la divisibilidad entre los siguientes primos (13, 17, 19, 23, etc.). La razón es que si el 13 entró uniformemente, entonces tendríamos 127 = 13 × n por algún número n . Pero entonces n tendría que ser menor que 13... y ya sabemos que 127 no es divisible entre cualquier número menor que 13.

Así la respuesta es SI... 127 es primo.