Propiedades

POTENCIACION 😋😒😖

Definición   😨😛😠😖😓

Se llama potencia a una expresión de la forma ${\displaystyle a^{n}}$, donde a es la base y n es el exponente. Su definición varía según el conjunto numerico al que pertenezca el exponente.

Exponente entero   😥😩😒😌

Cuando el exponente es un numero natural n, este indica las veces que aparece a multiplicando por sí mismo, siendo a un numero cualquiera:

(1)${\displaystyle {\begin{array}{ll}a^{1}=&a\\a^{2}=&a\times a\\\vdots &\vdots \\a^{n}=&\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ veces}}},\end{array}}}$

Esta definición puede aplicarse, tanto a numero reales o complejos, así como a otras estructuras algebraicas más abstractas, como pueden ser, por ejemplo, matrices cuadradas.

Multiplicación de potencias de igual base   😒😑😕

El producto de dos potencias que tienen la misma base es igual a una potencia de dicha base que tiene como exponente la suma de los exponentes, es decir:

${\displaystyle a^{n}\cdot a^{m}=a^{n+m}}$

Ejemplos:

${\displaystyle 9^{3}\cdot 9^{2}=9^{3+2}=9^{5}}$

Potencia de una potencia  😢😞😗

La potencia de una potencia de base a es igual a la potencia de base a y cuyo exponente es el producto de ambos exponentes (la misma base y se multiplican los exponentes):

${\displaystyle {(a^{m})}^{n}=a^{m\cdot n}}$

Debido a esto, la notación ${\displaystyle a^{b^{c}}}$ se reserva para significar ${\displaystyle a^{(b^{c})}}$ ya que ${\displaystyle {(a^{b})}^{c}}$ se puede escribir sencillamente como ${\displaystyle a^{bc}\,}$.

Potencia de un producto   😓😛

La potencia de un producto es igual al producto de cada uno de los factores elevado al mismo exponente, es decir:

${\displaystyle (a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}}$

---

Si la base a tiene inverso aditivo indicado mediante signo negativo -a, entonces se tiene la regla:

${\displaystyle (-a)^{n}=\;\;\;\;\;a^{n}}$ si n es par. ${\displaystyle (-a)^{n}=-(a^{n})}$ si n es impar.

Si la base a tiene inverso multiplicativo c, es decir c·a = 1 o que ${\displaystyle c={\frac {1}{a}}}$, entonces este se denota por ${\displaystyle a^{-1},}$ y el exponente se puede ampliar a todos los numeros enteros

(2)${\displaystyle {\begin{array}{l}a^{-1}={\frac {1}{a}}\\a^{-n}={\frac {1}{a^{n}}}\end{array}}}$

Observación

${\displaystyle a^{-n}=(a^{-1})^{n}=\underbrace {{\frac {1}{a}}\times \cdots \times {\frac {1}{a}}} _{n}={\frac {1}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n}}}={\frac {1}{a^{n}}}.}$

División de potencias de igual base  😖😜😖😖

El cociente de dos potencias con la misma base es igual a una potencia de dicha base con un exponente igual a la diferencia del exponente del dividendo menos el del divisor,¹​ esto es:

${\displaystyle {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}}$

Ejemplo:

${\displaystyle {\frac {9^{5}}{9^{3}}}=9^{5-3}=9^{2}}$

Potencia de exponente 0    😖😔😑

Un número distinto de 0 elevado al exponente 0 da como resultado la unidad (1), puesto que:

${\displaystyle 1={\frac {a^{n}}{a^{n}}}=a^{n-n}=a^{0}\,}$

El caso particular de ${\displaystyle 0^{0}\,}$ no está definido y es conocido como una inderteminacion

Potencia de un cociente  😝

La potencia de un cociente es igual al cociente de cada uno de los números elevado al mismo exponente.

${\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}$

---

Si la base a = 0, entonces a no tiene inverso  multiplicativo , por lo que sólo se presentan exponentes de números naturales por  quedando así prohibida la notación  como valor numérico:

${\displaystyle 0^{1}=0}$

${\displaystyle 0^{n}=\underbrace {0\times \cdots \times 0} _{n}=0.}$

Exponente racional  😌😓😔

La potenciación con exponente racional viene de la necesidad de resolver una ecuacion  del tipo ${\displaystyle x^{n}=a}$, de manera que ${\displaystyle x={\sqrt[{n}]{a}}}$, pero se ha de garantizar que dicha x sea un numero real y esto sólo se puede garantizar para todo n si la base a es un número real positivo, por lo que existe un teorema que dice:

Dado un número real positivo a, este tiene una única raíz n-ésima positiva.

Para notar la raiz se define el uso de fracciones en el exponente:

(3)${\displaystyle a^{\frac {1}{n}}={\sqrt[{n}]{a}}}$

Observación

${\displaystyle \left(a^{\frac {1}{n}}\right)^{n}=a^{{\frac {1}{n}}\cdot n}=a^{1}=a.}$

En general para las fracciones se define que:

(4)${\displaystyle {\begin{array}{ll}a^{\frac {n}{m}}&={\sqrt[{m}]{a^{n}}}\\a^{-{\frac {n}{m}}}&={\frac {1}{a^{\frac {n}{m}}}}\end{array}}}$

Relación

${\displaystyle a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}=a^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}\Leftrightarrow }$ ${\displaystyle {\frac {n_{1}}{m_{1}}}={\frac {n_{2}}{m_{2}}}}$

Propiedades

${\displaystyle a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\cdot a^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}=a^{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}+{\frac {n_{2}}{m_{2}}}},}$

${\displaystyle \left(a^{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\right)^{\frac {n_{2}}{m_{2}}}=a^{{\frac {n_{1}}{m_{1}}}\cdot {\frac {n_{2}}{m_{2}}}},}$

${\displaystyle (a\cdot b)^{\frac {n}{m}}=a^{\frac {n}{m}}\cdot b^{\frac {n}{m}}.}$

Exponente real   😊😋😔😓

La potenciación puede extenderse a exponentes reales usando sucesiones racionales ; esto se recoge en el siguiente teorema:

Dado un número real positivo a y una sucesión de numeros racionales ${\displaystyle q_{n}}$ que tiene límite b, entonces existe el limite de la sucesion ${\displaystyle a^{q_{n}}}$ que se escribe como: ${\displaystyle a^{b}=\lim _{n\to \infty }a^{q_{n}}}$

Nótese que las sucesivas aproximaciones de a^b tienen como exponente números racionales, con lo que para que la definición sea consistente, se exige que a sea un número real positivo.

Análogamente, se puede extender la potenciación a funciones, usando la funcion exponencial, y su inversa, la función logaritmo natural, en un proceso que se denomina exponenciacion. Así, se define

${\displaystyle f(x)^{g(x)}=e^{g(x)\ln f(x)}}$.

De igual manera, esta es totalmente consistente si el conjunto e imagen de f(x) es el conjunto de los números reales positivos R₊, o algún subconjunto de este, siendo los valores de la función exponente g(x) números reales cualesquiera, debido a que el logaritmo natural no está definido para números negativos.

Propiedades

${\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c},}$

${\displaystyle \left(a^{b}\right)^{c}=a^{b\cdot c},}$

${\displaystyle (a\cdot b)^{c}=a^{c}\cdot b^{c}.}$

RADICACION   😀😉😌😎

Es hallar la base 

Propiedade 👹💤😊😊

Por lo descrito antes, las propiedades de la potenciación se cumplen también con la radicación. Para que estas propiedades se cumplan, se exige que el radicando de las raíces sea positivo.

Raíz de un producto   😓😐😑😓

La raíz de un producto es igual al producto de las raíces de los factores nombrados anteriormente. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{{a}\cdot {b}}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle {\sqrt {3^{2}\cdot 2^{4}}}}$ = ${\displaystyle {\sqrt {3^{2}}}\cdot {\sqrt {2^{4}}}}$ = ${\displaystyle {\sqrt {9}}\cdot {\sqrt {16}}=3\cdot 4=12.}$

Se llega a igual resultado de la siguiente manera:

${\displaystyle {\sqrt {3^{2}\cdot 2^{4}}}={\sqrt {9\cdot 16}}={\sqrt {144}}=12.}$

Raíz de un cociente

La raíz de una fracción es igual al cociente de la raíz del numerador entre la raíz del denominador. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {a^{1/n}}{b^{1/n}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}}$

Ejemplo:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {9}{4}}}={\frac {\sqrt {9}}{\sqrt {4}}}}$ = ${\displaystyle {\frac {3}{2}}.}$

Raíz de una raíz 😉😋

Para calcular la raíz de una raíz se multiplican los índices de las raíces y se conserva el radicando. ${\displaystyle {\sqrt[{n}]{\sqrt[{m}]{a}}}}$ = ${\displaystyle {\sqrt[{n\cdot m}]{a}}.}$

Ejemplo

${\displaystyle {\sqrt[{9}]{\sqrt[{3}]{5}}}={\sqrt[{9\cdot 3}]{5}}={\sqrt[{27}]{5}}}$

Potencia de una raíz  💟😀😓

Para calcular la potencia de una raíz se eleva el radicando a esa potencia. ${\displaystyle \left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}=a^{\frac {m}{n}}}$

Ejemplo: si m = 3 y n = 4:

${\displaystyle \left({\sqrt[{4}]{x}}\right)^{3}={\sqrt[{4}]{x^{3}}}=x^{\frac {3}{4}}}$

Otras propiedades   😓😕😋

Utilizando las propiedades fundamentales, se pueden obtener otras propiedades, como por ejemplo, el cálculo de la raíz de un producto con el mismo radicando y distintos índices, que se obtiene multiplicando los índices de las raíces y conservando el radicando elevado a la suma de los índices.

${\displaystyle {\sqrt[{m}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{a}}=a^{{\frac {1}{m}}+{\frac {1}{n}}}=a^{\frac {m+n}{mn}}={\sqrt[{m\cdot n}]{{a}^{m+n}}}}$

LOGARITMACION  😊😒😌

Se halla el exponente.

2- Propiedades  👳💁😖😉

2.1- Logaritmo de la unidad   😊😉😋

El logaritmo de 1 en cualquier base es igual a 0.

log_b (1) = 0 ;  con b ≠ 1.

Ej:  log₅ (1) = 0    porque     5⁰ =1

log₇ (1) = 0   porque   7⁰ = 1

log₂₀ 1 = 0   ⇔  20⁰ = 1

2.2- Logaritmos de la base  😋😌😊

El logaritmo de la base es igual a 1.

log_b (b) = 1 ; con b ≠ 1.

Ej:

log₅ (5) = 1  ⇔ 5¹ = 5

log₆ (6) = 1  ⇔ 6¹ = 6

log₁₂ (12) = 1  ⇔ 12¹ = 12

2.3- Logaritmo de una potencia con igual base:  😓😋😁

El logaritmo de una potencia de un número es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmo del número.

log_b bⁿ = n,  con b ≠ 1

Ej:

log₆ 6 ³ = 3

2.4- Logaritmo de un producto  😋😔

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores.

log_b (a • c) = log_b a + log_b  c

Ej:

log_b (5 • 2) = log_b 5 + log_b 2

2.5- Logaritmos de un cociente  😓

El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo, menos el logaritmo del divisor.

Ej:

2.6- Logaritmo de una potencia  😊😉

El logaritmo de una potencia es igual al exponente multiplicado por el logaritmo de la base.

log_a cⁿ = n log_a c 

Ej:

log₃ 10 ²  =  2 log₃ 10

2.7- Logaritmo de una raíz

El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido entre el índice de la raíz.

Ej:

2.8- Cambio de base  😊😋

 para todo p, a, b > 0;  b, c ≠ 1